椭圆中心为原点O.e为2分之根号2.准线方程为2根号2.设动点满足向量OP=OM+2ON.M.N在椭圆上.OM与ON斜率积为-1/2.是否存在F1,F2.使|PF1|+|PF2|为定值.若存在,求F1F2两点坐标.不存在,说明理由. 　　解析：∵√(a^2-b^2)/a=√2/2,a^2/c=a^2/√(a^2-b^2)=2√2, 　　∴a=2,b=√2, 　　∴椭圆方程为：x^2/4+y^2/2=1==>x^2+2y^2=4． 　　设P(x,y),M(x1,y1),N(x2,y2) 　　∵向量OP=OM+2ON, 　　∴(x,y)=(x1+2x2,y1+2y2)==>x=x1+2x2,y=y1+2y2, 　　∵M、N是椭圆上的点, 　　∴x1^2+2y1^2-4=0,x2^2+2y2^2-4=0．∴x^2+2y^2=(x1+2x2)^2+2(y1+2y2)^2 　　=(x1^2+2y1^2)+4(x2^2+2y2^2)+4(x1x2+2y1y2) 　　=20+4(x1x2+2y1y2)． 　　∵直线OM与ON的斜率之积为-1/2, 　　∴y1/x1*y2/x2=-1/2==>x1x2=-2y1y2, 　　∴x^2+2y^2=20, 　　即动点P的轨迹是椭圆：x^2/20+y^2/10=1 　　其焦点为F1(-√10,0),F2(√10,0),准线l：x=2√10,e=√2/2, 　　故存在点F1(-√10,0),F2(√10,0),满足使|PF1|+|PF2|为定值．

　　x^2+2y^2=(x1+2x2)^2+2(y1+2y2)^2P为什么在x^2+2y^2这个椭圆上。。。怎么出来的(⊙_⊙?)

　　由题意可知，若F1，F2存在，P的轨迹肯定是椭圆∵向量OP是由椭圆上点M,N构成的向量OM,ON合成，所以P的轨迹应该与椭圆x^2+2y^2=4相似，只是大小不同而已